Friday, September 12, 2008

Persamaan Diferensial Orde Kedua

Bentuk :
Mathematic for Engineer Images
Persamaan karakteristik diperoleh :
Mathematic for Engineer Images
dimana Mathematic for Engineer Images;Mathematic for Engineer Images dan y= 1
Pemecahan persamaan diferensial orde kedua tergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya. Apabila :

  1. Kedua akarnya riil dan berbeda, dimana m = m1 dan m = m2
    Maka solusinya : Mathematic for Engineer Images
    Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
    Mathematic for Engineer Images
    Pada persamaan differensial di atas, persamaan karakteristiknya menjadi Mathematic for Engineer Images. Sehingga akar-akarnya berbentuk Mathematic for Engineer Images dimana Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images. Dengan demikian solusi untuk persamaan Mathematic for Engineer Images adalah Mathematic for Engineer Images
    Pembuktian :
    Mathematic for Engineer Images
    Jika f(x) = 0, maka persamaannya :
    Mathematic for Engineer Images
    Misalkan y = u dan y = v (u dan v fungsi dari x), sehingga berdasarkan persamaan di atas diperoleh
    Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images
    Dengan menggabungkan keduanya, maka
    Mathematic for Engineer Images
    Dari persamaan di atas, diketahui bahwa
    Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images
    Sehingga persamaan di atas juga dapat ditulis
    Mathematic for Engineer Images
    Pada persamaan Mathematic for Engineer Images, jika a = 0, maka diperoleh persamaan orde pertama Mathematic for Engineer Images, yaitu Mathematic for Engineer Images dengan Mathematic for Engineer Images
    Dengan pemisahan variabel :
    Mathematic for Engineer Images
    Jadi : Mathematic for Engineer Images
    Mathematic for Engineer Images (karena ec konstan)
    Jika -k dinyatakan dengan m, maka persamaan di atas dapat ditulis Mathematic for Engineer Images. Dengan melakukan substitusi ke bentuk persamaan differensial orde kedua dimana Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images, diperoleh Mathematic for Engineer Images. Jika kedua ruas dibagi dengan Mathematic for Engineer Images, maka Mathematic for Engineer Images. Bentuk persamaan kuadrat ini memberikan dua akar m = m1 dan m = m2, sehingga diperoleh dua pemecahan bagi persamaan semmula yaitu Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images. Dengan demikian, pemecahan untuk persamaan differensial orde kedua yang berbentuk Mathematic for Engineer Images adalah Mathematic for Engineer Images
  2. Kedua akarnya riil dan sama, dimana m = m1 atau m = m2
    Maka solusinya : Mathematic for Engineer Images
    Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
    Mathematic for Engineer Images
    Pada persamaan differensial di atas, persamaan karakteristiknya menjadi Mathematic for Engineer Images. Sehingga akar-akarnya berbentuk Mathematic for Engineer Images dimana Mathematic for Engineer Images (dua kali). Dengan demikian solusi untuk persamaan Mathematic for Engineer Images adalah Mathematic for Engineer Images
    Pembuktian :
    Jika akar - akarnya m = m1 = m2, maka pemecahan persamaan Mathematic for Engineer Images adalah Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images. Akan tetapi, karena setiap persamaan differensial orde kedua selalu memberikan dua buah konstanta sembarang, maka harus ada suku lain yang memuat konstanta kedua tersebut, yaitu Mathematic for Engineer Images. Sehingga pemecahan untuk persamaan Mathematic for Engineer Images akan menjadi Mathematic for Engineer Images
  3. Kedua akarnya kompleks, dimana m = α ± jβ
    Maka solusinya : Mathematic for Engineer Images
    Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
    Mathematic for Engineer Images
    Pada persamaan differensial di atas, persamaan karakteristiknya menjadi Mathematic for Engineer Images. Sehingga nilai akar-akarnya :
    Mathematic for Engineer Images
    Dari akar-akar di atas diketahui bahwa Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images. Dengan demikian solusi untuk persamaan Mathematic for Engineer Images adalah Mathematic for Engineer Images
    Pembuktian :
    Jika akar - akarnya kompleks Mathematic for Engineer Images, yaitu Mathematic for Engineer Images dan Mathematic for Engineer Images, maka pemecahan persamaan Mathematic for Engineer Images adalah :
    Mathematic for Engineer Images
    Ingat bahwa:
    Mathematic for Engineer Images
    Maka :
    Mathematic for Engineer Images
    dengan:
    A = (C+D)
    B = j(C-D)

Untuk persamaan yang memiliki bentuk Mathematic for Engineer Images, perhatikan persamaan Mathematic for Engineer Images. Jika b = 0, maka :
Mathematic for Engineer Images
Bentuk persamaan di atas dapat ditulis sebagai Mathematic for Engineer Images, yang mencakup kedua kemungkinan koefisien y (positif atau negatif). Solusi untuk persamaan ini adalah :

  1. Jika Mathematic for Engineer Images, maka Mathematic for Engineer Images
    Berdasarkan persamaan di atas, maka Mathematic for Engineer Images. Bentuk ini serupa dengan Mathematic for Engineer Images dimana α = 0 dan β = n. Dengan demikian solusi untuk persamaan yang memiliki bentuk Mathematic for Engineer Images adalah Mathematic for Engineer Images
    Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
    Mathematic for Engineer Images
    Pada persamaan di atas diketahui bahwa n = 16, sehingga
    Mathematic for Engineer Images
  2. Jika Mathematic for Engineer Images, maka Mathematic for Engineer Images
    Berdasarkan persamaan di atas, maka Mathematic for Engineer Images, sehingga Mathematic for Engineer Images. Ingat bahwa :
    Mathematic for Engineer Images
    Jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan, maka diperoleh
    Mathematic for Engineer Images
    Jika kedua persamaan tersebut dikurangkan, maka diperoleh
    Mathematic for Engineer Images
    Dengan demikian, Mathematic for Engineer Images dapat ditulis sebagai
    Mathematic for Engineer Images
    Contoh : Pecahkan persamaan differensial orde kedua berikut
    Mathematic for Engineer Images
    Pada persamaan di atas diketahui bahwa n = 3, sehingga
    Mathematic for Engineer Images

Pemecahan Lengkap Persamaan Differensial Orde Kedua
Mathematic for Engineer Images

Di bawah ini tabel bentuk umum integral khusus.

Mathematic for Engineer Images

Contoh :
Pecahkan persamaan differensial Mathematic for Engineer Images

  1. Fungsi Komplementer (FK)
    Fungsi Komplementer (FK) diperoleh jika Mathematic for Engineer Images. Sehingga persamaan karakteristiknya adalah :
    Mathematic for Engineer Images
    Dari persamaan di atas diketahui bahwa m1 = -2 dan m2 = -3. Dengan demikian fungsi komplementernya adalah Mathematic for Engineer Images
  2. Integral Khusus (IK)
    Perhatikan persamaan pada ruas kanan dan sesuaikan dengan tabel di atas. Karena ruas kanan berbentuk Mathematic for Engineer Images, maka berdasarkan tabel di atas untuk integral khusus digunakan bentuk umum berderajat dua. Jadi, bentuk umum ruas kanan menjadi
    Mathematic for Engineer Images
    Dengan melakukan substitusi persamaan-persamaan di atas ke dalam persamaan sebenarnya, diperoleh
    Mathematic for Engineer Images
    Selanjutnya, samakan koefisien-koefisien x yang memiliki pangkat sama antara ruas kiri dan ruas kanan
    Mathematic for Engineer Images
    Jadi integral khusus-nya adalah Mathematic for Engineer Images

Jawaban sebenarnya untuk persamaan Mathematic for Engineer Images adalah penjumlahan dari Fungsi Komplementer (FK) dan Integral Khusus (IK). Jadi penyelesaian untuk Mathematic for Engineer Images adalah Mathematic for Engineer Images

Please Give Us Your 1 Minute In Sharing This Post!
SOCIALIZE IT →
FOLLOW US →
SHARE IT →
Powered By: BloggerYard.Com

3 comments:

Lucky Bloke said...

Keren b=gan, bermanfaat sekali. Semoga semakin banyak sharing dan kebaikan kembali ke diri agan sendiri

Unknown said...

Gan izin brtanya.m1 sma m2 nya ad ktentuan ga? Msalnya m1>m2 atau m2>m1?

nikadekds said...

Goodjob